Zielformeln:

$$v=\sqrt{2gh},h=\frac{v^2}{2g}$$

Gültigkeitsbereich/Annahmen: abgeschlossenes System (reibungsfrei, Luftwiderstand vernachlässigt); homogenes Schwerefeld nahe der Erdoberfläche ($g=\text{konst.}$, $h\ll R_E$); freier Fall aus der Ruhe ($v_0=0$).

★ Maturarelevant: $h=v^2/(2g)$ ist genau die Boeing-Zusatzfrage aus der echten Prüfung („In welcher Höhe wären beide Energieformen gleich groß?").

Verwendete Formeln

Formel	Name	Formelnheft
$E_{\text{kin}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{2}}$	Kinetische Energie	✅ S. 2 („Kinetische Energie")
$E_{\text{pot}}=mgh$	Potentielle Energie	✅ S. 2 („Potentielle Energie")
$E_{\text{ges}}=E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}=\text{konst.}$	Energieerhaltungssatz	❌ nicht im Formelnheft (nur die einzelnen Energieformen stehen drin) — den Satz selbst muss man bei der Prüfung formulieren
$v=\sqrt{2gh}$, $h={\displaystyle \frac{v^2}{2g}}$	Endgeschwindigkeit des Falls / Gleichenergiehöhe	❌ nicht im Formelnheft — bei der Prüfung selbst herleiten (siehe unten)

Herleitung (Schritt für Schritt)

A) Endgeschwindigkeit des freien Falls $v=\sqrt{2gh}$ (die Masse kürzt sich!)

1. Erhaltungssatz und zwei Zustände anschreiben. Im abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie erhalten. Verglichen werden Start (Höhe $h$, in Ruhe) und Aufprall (Höhe $0$, Geschwindigkeit $v$):
   • Start: $E_{\text{ges}}=E_{\text{pot}}=mgh$ ($v_0=0$ ⇒ $E_{\text{kin}}=0$; Nullpunkt am Boden gewählt).
   • Aufprall: $E_{\text{ges}}=E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}m{v}^2$ ($h=0$ ⇒ $E_{\text{pot}}=0$).
2. Gleichsetzen (Energieerhaltung: beide Zustände haben dieselbe Gesamtenergie, keine Reibungsverluste):$$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$$
3. Masse $m$ kürzen (beide Seiten durch $m$ dividieren, erlaubt wegen $m>0$):$$gh=\frac{1}{2}{v}^2$$Das ist der Kernpunkt: Die Endgeschwindigkeit ist massenunabhängig — schwere und leichte Körper fallen (im Vakuum) gleich schnell, im Einklang mit Galilei.
4. Beide Seiten mal 2 (Bruch beseitigen):$$v^2=2gh$$
5. Wurzel ziehen (positive Wurzel, da der Geschwindigkeitsbetrag $v\ge 0$ ist):$$\boxed{{\displaystyle v=\sqrt{2gh}}}$$
6. Unabhängige Kontrolle (Quervergleich mit H01): Nach H01 gilt bei $t=2,5$ s: $h\approx 30,7$ m, $v\approx 24,5$ m/s. Einsetzen: $\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 30,7}=\sqrt{602,3}\approx 24,5$ m/s ✓ — Kinematik und Energiemethode liefern dasselbe. Größenordnungsbeispiel (Regentropfen aus dem Skript): Ohne Luftwiderstand erreichte ein Tropfen aus $h=2000$ m: $v=\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 2000}\approx 198$ m/s ✓ (real nur 7–9 m/s wegen Endgeschwindigkeit).

B) ★ Gleichenergiehöhe $h={\displaystyle \frac{v^2}{2g}}$ (Boeing-Zusatzfrage)

Frage: Ein Flugzeug fliegt mit Geschwindigkeit $v$ — in welcher Höhe gilt $E_{\text{pot}}=E_{\text{kin}}$?

1. Bedingung anschreiben (die Aufgabe verlangt Gleichheit beider Energieformen):$$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$$
2. Masse $m$ kürzen (beide Seiten durch $m$) — die Antwort ist unabhängig davon, wie schwer das Flugzeug ist:$$gh=\frac{1}{2}{v}^2$$
3. Nach $h$ auflösen (beide Seiten durch $g$):$$\boxed{{\displaystyle h=\frac{v^2}{2g}}}$$(Formal ist das Schritt 4 von A, nach $h$ aufgelöst — zwei Lesarten derselben Gleichung. Strukturgleich mit der Bremsstrecke $S_B=v^2/(2a_B)$: ersetze $a_B\to g$.)
4. Prüfungszahlen (unabhängig nachgerechnet): $v=946$ km/h $=946/3,6\approx 262,8$ m/s:$$h=\frac{262,8^2}{2\cdot 9,81}\approx \frac{69060}{19,62}\approx 3520\text{m}$$(Das Skript gibt $\approx 3519$ m — mit dem ungerundeten $v=946/3,6$ gerechnet; reine Rundungsdifferenz, ca. 3,5 km.) ✓
5. Bonus fürs Prüfungsgespräch (philosophischer Haken des Lehrers): In der gleichförmig fliegenden Kabine kann man durch kein Experiment feststellen, dass beide Energieformen gerade gleich sind — $E_{\text{kin}}$ ist bezugssystemabhängig, und alle gleichförmig bewegten Bezugssysteme sind gleichberechtigt (Relativitätsprinzip).

C) Energiekreislauf von Fadenpendel und springendem Ball (qualitativ + Formeln)

Fadenpendel: Beim idealen Pendel (keine Reibung, kein Luftwiderstand) wandeln sich die beiden Energieformen periodisch ineinander um, die Summe bleibt konstant:

1. Höchste Punkte (Umkehrpunkte): $v=0$ ⇒ $E_{\text{kin}}=0$; die gesamte Energie steckt in $E_{\text{pot}}=mgh$ ($h$ = Anhebung gegenüber dem tiefsten Punkt).
2. Tiefster Punkt: $h=0$ ⇒ $E_{\text{pot}}=0$; die gesamte Energie steckt in $E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}m{v}_{\text{max}}^2$.
3. Aus derselben Gleichung wie in A ($mgh=\frac{1}{2}m{v}_{\text{max}}^2$, $m$ kürzt sich) folgen Talgeschwindigkeit und Steighöhe:$$v_{\text{max}}=\sqrt{2gh},h=\frac{v_{\text{max}}^2}{2g}$$⇒ Das ideale Pendel kehrt immer auf dieselbe Höhe zurück (direkte Folge der Energieerhaltung).
4. Reales Pendel: Reibung und Luftwiderstand entziehen pro Periode etwas mechanische Energie (→ Wärme) ⇒ die Amplitude klingt langsam ab — die Energie verschwindet nicht, sie verlässt nur das Konto „kinetisch + potentiell".

Springender Ball: Beim Fallen $E_{\text{pot}}\to E_{\text{kin}}$; beim Aufprall wird die kinetische Energie kurz zu Verformungsenergie (elastischer Energie) und wieder zurück; beim Aufsteigen $E_{\text{kin}}\to E_{\text{pot}}$. Bei jedem Aufprall geht ein Teil in Wärme und Schall (nicht vollständig elastisch) ⇒ die Sprunghöhe nimmt von Mal zu Mal ab; nur ein ideal elastischer Ball erreichte wieder die Ausgangshöhe $h=v^2/(2g)$.

Variablentabelle

Symbol	Bedeutung	SI-Einheit
$E_{\text{kin}}$	Kinetische Energie	J
$E_{\text{pot}}$	Potentielle Energie	J
$E_{\text{ges}}$	Gesamtenergie (im abgeschlossenen System erhalten)	J
$m$	Masse (kürzt sich in jeder Herleitung)	kg
$v$	Geschwindigkeit (A: Endgeschwindigkeit; B: Fluggeschwindigkeit)	m/s
$v_{\text{max}}$	Pendelgeschwindigkeit im tiefsten Punkt	m/s
$h$	Höhe (relativ zum gewählten Nullpunkt)	m
$g$	Fallbeschleunigung $=\mathrm{9,807}$ m/s² (Formelnheft S. 1; im Skript $9,81$)	m/s²

Verknüpfungen

• Herkunft der Energieformeln (Herleitung von $E_{\text{kin}}$, $E_{\text{pot}}$) → H02
• Strukturgleiche Formel $S_B=v^2/(2a_B)$ (ersetze $g\to a_B$) → H01
• Dieselbe Energiemethode für große Abstände im Gravitationsfeld (Fluchtgeschwindigkeit) → H06
• Skript: Thema 8 §8.5 Energieerhaltung ($v=\sqrt{2gh}$, Boeing-Frage, Bezugssystem-Diskussion), Thema 5 §5.2 (Regentropfen-Beispiel 198 m/s)